У § 23 ми розглядали коливальні рухи, що виходили за межі коливальних систем, — маятників.
Пригадували, що коливальний рух маятників вивчався в 7 класі. Що ж залишилось поза нашої увагою? Узагальнимо й розширимо наші знання.
Пружинний маятник — це тіло масою m, закріплене на пружині, жорсткість якої k і яке коливається під дією сили пружності (мал. 266, а, с. 248).
Математичний маятник — це точкове тіло, підвішене до нерозтяж-ної й невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 266, б, с. 248).
Ці маятники є коливальними системами, у яких можуть відбуватися коливання. Кожна коливальна система має стан рівноваги. Для математичного маятника — це положення, у якому центр мас підвішеної кульки лежить на одній вертикалі з точкою підвісу; у горизонтального пружинного маятника — це положення, у якому пружина не деформована.
Якщо коливальну систему вивести зі стану рівноваги, виникає сила, що повертає систему в рівноважний стан. При цьому коливальне тіло не зупиняється в рівноважному стані, а продовжує свій рух за інерцією. У системі виникають вільні коливання.
Вільними (або власними) називають коливання, які виникають у результаті початкового виведення системи з положення стійкої рівноваги і здійснюються за рахунок внутрішніх сил системи, не зазнаючи впливу з боку змінних зовнішніх сил.
Період вільних коливань пружинного маятника визначається масою коливного тіла та жорсткістю пружини
Період вільних коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі та від
довжини маятника
Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах із різними маятниками. (Це ви зробите, виконуючи роботи фізичного практикуму.)
Вільні коливання горизонтального пружинного та математичного маятників (за малих кутів відхилення 3-5о) ще називають гармонічними коливаннями. У гармонічних коливаннях сили, під дією яких вони відбуваються, завжди пропорційні до зміщення і спрямовані протилежно до нього (до положення рівноваги). Для пружинного маятника — це сила пружності, для математичного — рівнодійна сили всесвітнього тяжіння та сили натягу нитки.
Перетворення енергії під час коливального руху маятників. Розглядаючи рухи маятників, вважатимемо, що тертя в обох коливальних системах відсутнє або настільки мале, що ним можна знехтувати. Така система є ізольованою і для неї виконується закон збереження механічної енергії.
У початковий момент (тіло відведено у крайнє ліве положення) коливальна система має максимальну потенціальну енергію. Для пружинного
маятника це
для математичного
Рухаючись до положення рівноваги, система зменшує потенціальну енергію, але при цьому збільшується її кінетична енергія, яка набуває максимального значення в положенні рівноваги, де швидкість коливного
тіла є максимальною. Для обох маятників
Проходячи положення рівноваги, тіло зменшує кінетичну енергію й, зупиняючись у крайньому правому положенні, має максимальну потенціальну енергію. Кінетична енергія при цьому дорівнює нулю.
Таким чином, кінетична енергія коливальної системи матиме максимальні значення в моменти проходження тілом положень рівноваги, а потенціальна — у моменти перебування тіла в точках найбільших відхилень від положення рівноваги. У довільний момент часу сума потенціальної і кінетичної енергії є сталою величиною й дорівнює повній енергії коливань.
На малюнку 267 зображено графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань.
Мал. 267 Графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань
Використання математичних маятників. Оскільки будь-який маятник має фіксований період коливань, їх використовують для регулювання ходу годинників. Маятники використовують і в геологічних розвідках. У місцях, де залягають породи металевих руд, значення g аномально велике. Точні вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника дають змогу виявити такі родовища.
За допомогою математичного маятника можна виявити добове обертання Землі. Цей дослід у 1851 р. в Парижі виконав Ж. Фуко з маятником завдовжки 67 м. Тому маятники, за допомогою яких можна продемонструвати добове обертання Землі навколо своєї осі, називають маятниками Фуко (мал. 268).
Зміст досліду полягає в тому, що площина коливань математичного маятника залишається незмінною відносно інерціальної системи відліку. Тоді відносно неінерціальної системи відліку, пов’язаної із Землею, площина коливань маятника має повертатись.
Пізніше цей дослід повторювали в різних місцях. Очевидно, що ефект повороту площини коливань маятника залежить від широти місця проведення досліду, він найбільш виражений на земних полюсах і відсутній на екваторі.
Формуємо КОМПЕТЕНТНІСТЬ
Я поміркую й зможу пояснити
1. Яка коливальна система називається математичним маятником? Пружинним маятником?
2. За яких умов коливання математичного маятника будуть гармонічними?
3. Від чого залежить період коливань пружинного маятника? Математичного маятника?
4. Розкажіть про перетворення енергії під час гармонічних коливань. Скільки разів протягом періоду гармонічного коливання кінетична енергія системи дорівнює її потенціальній енергії в той самий момент часу?
5. Як зміниться хід годинника з маятником на металевому стержні: а) з підвищенням температури; б) при піднятті на гору; в) при переміщенні від полюса до екватора?
Вчимося розв'язувати задачі
Задача. Тягар масою 2 кг здійснює горизонтальні коливання на пружині. Амплітуда коливань 5 см, період коливань 5 с. Обчисліть максимальні значення кінетичної та потенціальної енергії, а також швидкість руху тягарця в момент проходження положення рівноваги.
За законом збереження енергії максимальні значення кінетичної й потенціальної енергій рівні між собою. Е « 4 • 103 Дж.
к.іюах
У момент проходження положення рівноваги швидкість руху тягарця максимальна. Її визначаємо з формули
Я можу застосовувати знання й розв'язувати задачі
В права 32
1.
Маятник зробив 50 коливань за 1 хв 40 с. Визначте період, частоту та циклічну частоту коливань.
2.
Як відносяться довжини математичних маятників, якщо за той самий час один з них робить 10, а другий — 30 коливань?
3.
За один і той самий час перший математичний маятник робить 50 коливань, другий — 30. Визначте довжини цих маятників, якщо один з них на 32 см коротший від іншого.
4.
Пружинний маятник вивели з положення рівноваги та відпустили. Через який час (у частинах періоду) кінетична енергія коливного тіла дорівнюватиме потенціальній енергії пружини? Коливання відбуваються в горизонтальному напрямку.
5.
Вантаж, маса якого 400 г, коливається горизонтально на пружині, що має жорсткість 250 Н/м. Амплітуда коливань 15 см. Визначте частоту, повну механічну енергію коливань і найбільшу швидкість руху вантажу.
6.
Тіло масою m = 1 кг під дією пружини жорсткістю k = 400 Н/м коливається без тертя в горизонтальній площині вздовж стержня. Користуючись законом збереження енергії, визначте період коливань тіла.
Перевірте себе
Рівень а (початковий)
1. Укажіть, у якому стані перебуває тіло, на яке діє стала за значенням і напрямком сила. А рівномірного прямолінійного руху
Б рівноприскореного прямолінійного руху В рівномірного руху по колу Г у стані вільного падіння
2. Швидкість руху тіла змінюється за законом: vx =-10 + 0,4ї. Визначте, у який момент часу швидкість тіла дорівнюватиме 2 м/с.
А 30 с Б 200 с В 300 с Г 20 с
3. За графіком прискорення автобуса (мал. 269) масою 4 т, який рухається прямолінійно, визначте модуль рівнодійної всіх сил, що діють на нього.
А 8 кН Б 800 Н В 40 Н Г 40 кН
4. Пластилінова кулька масою 40 г впала на стіл зі швидкістю 2 м/с. Визначте зміну імпульсу кульки.
5. Автомобіль, що рухається горизонтальною дорогою, здійснює екстрене гальмування. Укажіть, які перетворення енергії при цьому відбуваються.
А потенціальна енергія перетворюється в кінетичну Б кінетична енергія перетворюється в потенціальну В потенціальна енергія перетворюється у внутрішню Г кінетична енергія перетворюється у внутрішню
6. Установіть відповідність між рухомим тілом і причиною, що зумовила такий характер руху.
Подія
1 яблуко падає
2 збільшується швидкість руху автомобіля
3 космічний корабель обертається навколо Землі
4 лижник рухається вниз по схилу гори
Діючі на тіло сили
А сила тяжіння
Б сила тяжіння, сила реакції опори, сила тертя, сила опору повітря
В сила пружності, сила тяжіння
Г сила тяжіння, сила опору повітря
Д сила тяжіння, сила реакції опори, сила тертя, сила тяги, сила опору повітря
Рівень B (середній)
1. Яблуко, яке падає зі столу у вагоні потяга, відхиляється від вертикальної траєкторії до хвоста потяга. Таке відхилення обумовлене тим, що потяг..
А повертає
Б рухається рівномірно та прямолінійно
В сповільнюється
Г прискорюється
2. Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 12 м/с. Визначте максимальну висоту, на яку піднімається тіло.
А 1,2 м Б 6 м В 7,2 м Г 14,4 м
3. Людина масою 80 кг, стоячи на легкому надувному плоті, відштовхується від нерухомого човна масою 120 кг. При цьому човен набуває швидкості 0,6 м/с. Якої швидкості набуває пліт?
4. Амплітуда коливань пружинного маятника 5 см, частота коливань 1 Гц. Який шлях пройде тіло, що коливається, за 10 с? Яким буде переміщення тіла за цей час?
Рівень C (достатній)
1. Визначте, яким буде переміщення тіла через 2 с після початку руху, якщо його початкова швидкість 5 м/с, а прискорення напрямлене вздовж лінії руху й дорівнює 0,4 м/с2. Розгляньте всі можливі варіанти.
2. Яку роботу необхідно виконати, щоб потяг який рухається зі швидкістю 72 км/год, збільшив свою швидкість до 108 км/год? Маса поїзда 1000 т. Якою має бути сила тяги локомотива потяга, щоб це збільшення швидкості відбулося на ділянці завдовжки 2 000 м?
3. Тіло масою 1 кг вільно падає з висоти 5 м. На якій висоті кінетична енергія тіла дорівнюватиме його потенціальній енергії? Якою буде швидкість руху тіла на цій висоті?
4. Два математичні маятники одночасно починають коливатися. За той самий час перший маятник здійснив 20 коливань, а другий — 10. Якою є довжина першого маятника, якщо довжина другого — 1 м?
Рівень D (високий)
1. Рівняння руху вантажного автомобіля має вигляд х1 = -270 + 12t, а рівняння руху пішохода, який іде узбіччям того самого шосе, має вигляд х2 = -1,5t. Накресліть графіки руху та визначте: а) положення автомобіля й пішохода в момент початку спостереження; б) з якими швидкостями й у якому напрямку вони рухалися; в) коли й де вони зустрілися?
2. Тіло вільно ковзає з вершини нерухомої похилої площини під кутом а = 30° до горизонту. Визначте його швидкість у кінці похилої площини та час руху, якщо висота похилої площини 10 м, а коефіцієнт тертя 0,05. Розв’яжіть задачу двома способами: 1) застосовуючи закони динаміки й кінематики та 2) застосовуючи закони збереження.
Це матеріал з підручника Фізика 9 клас Засєкіна (поглиблений рівень)