Закон заломлення світла. З принципу Ферма можна отримати і закон заломлення світлових променів (його ще називають законом Снеля).
Розглянемо випадок (мал. 243), коли першим середовищем є вакуум, в якому швидкість світла с, а другим - прозора речовина, швидкість світла в якій v (v < с).
Як і у випадку доведення закону відбивання, з нескінченної множини можливих шляхів між точками А і В розглянемо лише три шляхи АА'В, АВ'В та АСВ. Згідно з принципом Ферма, світло поширюється тим шляхом, на який витрачається мінімальний час. Шлях АА'В не є таким, оскільки світло у вакуумі, де його швидкість максимальна, проходить найменшу відстань до межі поділу, а велику - у середовищі, де його швидкість мала.
Нашляху АВ'В , навпаки, світло з малою швидкістю проходить мінімальну відстань, а більшу ділянку шляху проходить у середовищі, де його швидкість руху максимальна. Проте, оптимальним, з точки зору мінімуму часу, буде деякий шлях АСВ, за умови, що довжини пройдених шляхів у середовищах будуть пропорційними швидкостям руху світла у цих середовищах.
Запишемо цю умову математично. Для цього з’ясуємо, де має бути розташована точка, в якій світловий промінь перетинає межу поділу середовищ. Позначимо відстань А'В' через d. Якщо шукана точка С перетину межі поділу середовищ лежить на відстані х від точки А', то від В' вона перебуває на відстані d-x (див. мал. 243). Тоді шлях АС у першому середовищі становить
відповідно час проходження цього шляху
Аналогічно у другому середовищі шлях СВ світло проходить за час
Загальний час
Як видно з цієї формули, час руху світла залежить від х, оскільки інші величини фіксовані.
З’ясуємо, за якого значення дг, час t буде мінімальним. Для цього визначимо похідну від t по х та прирівняємо отриманий результат до нуля. Отримаємо рівняння
З малюнка видно, що
падіння, у - кут заломлення.
Таким чином, умова мінімального часу проходження набуває вигляду
Цей вираз і є законом заломлення світла для розглядуваного випадку.
Відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення дорівнює відношенню швидкостей поширення світла у вакуумі і в середовищі, яке з ним межує, тобто дорівнює абсолютному показнику заломлення цього середовища.
Згідно з принципом Ферма шлях, який вимагає мінімального часу, лежить у площині падіння. Отже, формулювання закону слід доповнювати твердженням.
Падаючий промінь, заломлений промінь та перпендикуляр до межі поділу середовища, опущений в точку падіння променя, лежать в одній площині.
Повне відбивання. Закон заломлення світла дозволяє пояснити цікаве і практично важливе явище - повне відбивання світла.
Якщо промінь світла поширюється від точкового джерела з оптично більш густого в оптично менш густе середовище, то кут заломлення більший від кута падіння. Зі збільшенням кута падіння світлового променя, збільшується і кут заломлення, разом з тим, інтенсивність заломленого променя зменшується (мал. 244). Досягши певного значення кута падіння оц,, промінь взагалі не перетинає межу поділу середовищ - кут заломлення становить 90°. Коли кут падіння а > а0, світло не переходить у друге середовище, а лише відбивається від його межі, тобто відбувається явище повного внутрішнього відбивання.
Явище, в якому світло, поширюючись в більш густому середовищі, відбивається від межі поділу з менш густим середовищем не заломлюючись, називається явищем повного відбивання.
Кутом повного внутрішнього відбивання називається найменший кут падіння а0, починаючи з якого світло повністю відбивається від межі поділу середовищ. Із закону заломлення світла випливає, що ним є кут, синус якого
дорівнює
Саме повне відбивання спричиняє яскравий блиск краплинок роси, осколків скла тощо. Це явище використовують, огранюючи та шліфуючи дорогоцінне каміння. Оброблювальному камінцю надають такої форми, щоб більшість падаючих на нього променів після заломлення відбивались від внутрішніх граней.
Волоконна оптика. Технічне використання явище повного відбивання знайшло у волоконній оптиці. Термін «волоконна оптика» з’явився у 50-х рр. XX ст. Основним елементом волоконної оптики є оптичне волокно (найчастіше тонка прозора скляна нитка) (мал. 245). Зазнаючи повного внутрішнього відбиття, світло поширюється всередині світловоду і здатне передавати оптичні сигнали без спотворення на великі відстані.
Явище повного відбивання використовується в біноклях, перископах, катафотах засобів дорожнього руху та ін.
Дайте відповіді на запитання
1. Як з принципу Ферма доводиться закон заломлення світла?
2. Поясніть суть явища повного внутрішнього відбивання світла. Що називають граничним кутом повного внутрішнього відбивання світла? Чому він дорівнює?
3. Яке практичне застосування повного внутрішнього відбивання світла? Що таке волоконна оптика?
Рекомендації до розв’язування задач Серед задач геометричної оптики, в яких використовується закон заломлення світла, виділяють задачі на хід променів у прозорих плоско-паралельних пластинках та призмах.
Після проходження крізь плоско-паралельну пластинку промені виходять під тим же кутом, під яким вони на неї падають. При цьому пластинка зміщує промінь світла паралельно йому самому на відстань х (мал. 246).
Зміщення променя на виході з плоско-паралельної пластинки можна знайти з формули
або
тут а - кут падіння, у - кут заломлення, d -товщина пластинки, п - показник заломлення речовини пластинки.
Заломлення променя в призмі відбувається на її заломних гранях АВ і ВС (мал. 247). Якщо матеріал призми оптично більш густий, ніж навколишнє середовище, промінь, заломлюючись, обидва рази відхиляється до основи призми АС.
Кут ф
між заломними гранями називається заломним кутом призми. Кут 0 між продовженням променя, що падає на призму, і променя, що виходить з призми, називається кутом відхилення променя від початкового напрямку. Між цими кутами існує співвідношення
Якщо кут ф малий, то можна користуватись наближеною формулою
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Монохроматичний промінь падає під кутом ах = 60° на бічну поверхню скляної рівнобедреної призми. Кут при вершині призми ф=40°. На який кут відхилиться промінь, що виходить з призми, якщо показник заломлення матеріалу призми п = 1,54?
Отримати формулу для визначення кута зміщення променя для випадку, коли кут падіння на поверхню призми і заломний кут призми ф малі.
Задача 2. Промінь падає на плоско-паралельну скляну пластинку під кутом а = 30° (мал. 248). Показник заломлення скла п = 1,5. Яка товщина пластинки, якщо зміщення променя (відрізок CD) дорівнює 3,88 см?
Вправа 29
1. На нижню грань плоско-паралельної скляної пластинки нанесено риску. Спостерігач, що дивиться згори, бачить риску на відстані 4 см від верхньої грані пластинки. Яка товщина пластинки?
2. Промінь падає під кутом 60° на скляну пластинку завтовшки 2 см з паралельними гранями. Визначити зміщення променя, який вийшов з пластини. Яким буде зміщення, якщо промінь під таким самим кутом падає на цю саму скляну пластинку, розташовану у воді?
3. Маємо дві плоско-паралельні пластинки, притиснені щільно одна до одної. Товщина першої 16 мм, показник заломлення 1,5, товщина другої 24 мм, показник заломлення 1,8. На поверхню першої пластинки падає світло під кутом 48°. Визначити зміщення променя після виходу його із пластинок.
4. Чи може промінь, пройшовши крізь пластинку з паралельними гранями, зміститися так, щоб відстань між ним та його початковим напрямком була більшою за товщину пластинки?
5. Промінь SN падає на прямокутну скляну призму ВАС (мал. 249) перпендикулярно до грані АВ. Заломиться промінь на грані АС в точці N його падіння чи зазнає повного відбиття, якщо кут .А = ЗО0?
6. При якому найменшому значенні заломного кута А скляної призми ВАС (мал. 249) промінь SN зазнаватиме повного відбивання?
7. Промінь падає під кутом 50° на пряму трикутну скляну призму із заломним кутом 60°. Визначити кут заломлення променя в точці виходу з призми.
8. Промінь падає перпендикулярно на бічну грань прямої скляної призми, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 20°. На скільки градусів відхилиться промінь, вийшовши з призми, від початкового напрямку, якщо промінь усередині призми падає: а) на другу бічну грань; б) на основу?
9. Який заломний кут призми із скла з показником заломлення 1,56, якщо промінь падає перпендикулярно на одну її грань і виходить вздовж другої?
10. Визначити кут відхилення променя скляною призмою, заломний кут якої 3°, якщо кут падіння променя на передню грань дорівнює нулю.
11. Промінь світла виходить з призми під тим самим кутом, під яким входить у неї, причому відхиляється від початкового напрямку на кут 15°. Заломний кут призми 45°. Визначити показник заломлення матеріалу лінзи.
12. Промінь світла входить у скляну призму під кутом а = я/6 і виходить з неї в повітря під кутом п/3, причому, пройшовши крізь призму, відхиляється на кут я/4 від початкового напрямку. Визначити заломний кут призми.